“本科阶段的泛函分析我们以学习线性泛函分析分析为主，非线性泛函分析一般要等到研究生阶段才开始学习。线性泛函分析主要内容，归纳起来，就是我们常说的一王一后以及四大天王。一王一后就是贝尔纲定理和hahn-banach定理，四大天王分别是开映射定理，闭图像定理， banach-steinhaus定理，闭值域，mazur定理……”
这是一堂复习课，那老师也不多话，直接在课堂上开讲：“今天，我们就从一王一后以及四大天王入手，梳理本学期所学过的相关知识点，包括闭算子的谱分析，对称算子的自伴延，算子半群理论，线性单调算子，算子代数……”
庞学林在座位上打了个哈欠，他居住的那个招待所隔音效果一般，昨晚没睡好，这几天又一直在赶路，他着实有些累了。再加上老师讲课时还带了部分方言口音，语气不温不火，虽然讲的内容没什么问题，但还是让人感觉犯困。
庞学林不知不觉闭上了眼。
也不知过了多久，庞学林突然被一阵喧闹声吵醒。
他有些茫然地睁开眼，便发现教室里不少学生正用戏谑的眼神看着自己。
讲台上，那位秃顶教授正朝自己所在的方向说话：“那位穿军绿大衣的同学，上课时间睡得这么香，看样子你应该什么都会了吧，你过来过来，帮我解一解这道题……”
庞学林环顾四周，然后有些茫然地指了指自己：“老师，我吗？”
“对，说的就是你！快点上来，帮我把黑板上这道题解了……”
“老师，我不是……”
“你上不上来？不上来的话就给我出去，不过你这门课也别想考了。”
“这……好吧！”
庞学林犹豫了片刻，还是选择起身。
他原本想着等下课之后找这个教授套套话，问一下几大期刊的地址。
现在如果直接出去，那可真把人家给得罪了。
庞学林走上讲台，众人这才看清楚他那一身装扮。
一身破旧的军大衣，里面隐约可以看到黑色的棉布袄，布袄领子口的线头掉了，露出小半截棉花。
他脚上踩着一双黑布鞋，但几天赶路下来，原本浆洗干净的布鞋早就变脏兮兮不成样了。
这个年代，大学生还是天之骄子，就算家里再穷，也有几身用来对换的体面衣服。
如果不是庞学林本身气质形象都不错，就他这副衣着打扮，早就被人当做是农村出来的盲流了。
“这人是哪班的啊？以前怎么没见过，这身打扮够可以啊！”
“老王的课都敢睡觉，这家伙胆子真大。”
“我估计他已经放弃临时抱佛脚的念头了，泛函分析太tm难了，老王讲课口音又重，我都犯困想睡觉了……”
……
台下的学生们议论纷纷，一个个好奇地看着庞学林。
王崇庆看着庞学林的装扮，皱了皱眉，说道：“同学，这道题，你来解吧！”
庞学林点了点头，看着黑板上的题目。
【设e， f是两个banach空间，令 a:d(a)e→f为一个闭算子，且 d(a)=e。求证：d(a)σ(f′，f)=f′d(a)σ(f′，f)=f′。
其中 a是a的伴随算子，f′是f的对偶空间，σ(f′，f)为f′上的弱*拓扑， d(a)σ(f′，f)表示 d(a)在弱*拓扑σ(f′，f)下的闭包。】
将题目浏览完，庞学林几乎没怎么思考，直接开始在下面写下答案。
【结论 1：设f是e的子向量空间满足f≠e.则存在 f∈e'不为 0，使得(f，x)=0，x∈f。
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